16.若函數(shù)f(x)滿足$f({x-1})=\frac{1}{f(x)-1}$,當x∈[-1,0]時,f(x)=x,若在區(qū)間[-1,1]上,g(x)=f(x)-mx+m有兩個零點,則實數(shù)m的取值范圍為(0,$\frac{1}{2}$].

分析 根據(jù)$f({x-1})=\frac{1}{f(x)-1}$,當x∈[-1,0]時,f(x)=x,求出x∈(0,1)時,f(x)的解析式,由在區(qū)間(-1,1]上,g(x)=f(x)-mx+m有兩個零點,轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點,利用圖象直接的結(jié)論.

解答 解:∵x∈(-1,0)時,f(x)=x,∴當x∈(0,1]時,x-1∈(-1,0),$f({x-1})=\frac{1}{f(x)-1}$,可得x-1=$\frac{1}{f(x)-1}$,所以f(x)=$\frac{1}{x-1}+1$,作出f(x)在[-1,1)上的圖象,如圖:
因為g(x)=f(x)-mx-m有兩個零點,所以y=f(x)的圖象與直線y=mx-m有兩個交點,由圖象可知m∈(0,$\frac{1}{2}$].
故答案為:(0,$\frac{1}{2}$].

點評 此題是個中檔題.本題考查了利用函數(shù)零點的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數(shù)解析式,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,以及利用函數(shù)圖象解決問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.也考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問題的能力.

練習(xí)冊系列答案
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6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠ABC=90°,且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1,點E在棱PD上(點E異于端點),且$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}$.
(1)當$λ=\frac{2}{3}$時,求異面直線PC與AE所成角的余弦值;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$,求λ的值.

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7.兩個單位向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$,且$\overrightarrow{a}$⊥(x$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$),則|2$\overrightarrow{a}$-(x+1)$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$.

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4.設(shè)橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>0,b>0})$的一個頂點拋物線${x^2}=4\sqrt{3}y$的焦點重合,F(xiàn)1與F2分別是該橢圓的左右焦點,離心率$e=\frac{1}{2}$,且過橢圓右焦點F2的直線l與橢圓C交于M.N兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$,其中O為坐標原點,求直線l的方程;
(Ⅲ)若AB橢圓C經(jīng)過原點O的弦,且MN∥AB,判斷$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$是否為定值?若是定值,請求出,若不是定值,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,已知PC⊥平面ABC,點C在平面PBA內(nèi)的射影D在直線PB上.
(1)求證:AB⊥平面PBC;
(2)設(shè)AB=BC,直線PA與平面ABC所成的角為45°,求二面角C-PA-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,AB=2AD=2,$∠DAB=\frac{π}{3}$,PD⊥AD,PD⊥DC.
(Ⅰ)證明:平面PBC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若二面角P-BC-D為$\frac{π}{6}$,求AP與平面PBC所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.平面內(nèi)有兩個定點A(1,0),B(1,-2),設(shè)點P到A、B的距離分別為d1,d2,且$\frac{dlw531j_{1}}{qaqbpah_{2}}$=$\sqrt{2}$
( I)求點P的軌跡C的方程;
( II)是否存在過點A的直線l與軌跡C相交于E、F兩點,滿足${S_{△OEF}}=2\sqrt{2}$(O為坐標原點).若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.如圖,矩形ABCD中,AB=2AD=4,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE,構(gòu)成四棱錐A1-BCDE,若M為線段A1C的中點,在翻轉(zhuǎn)過程中有如下4個命題:
①MB∥平面A1DE;
②存在某個位置,使DE⊥A1C;
③存在某個位置,使A1D⊥CE;
④點A1在半徑為$\sqrt{2}$的圓面上運動,
其中正確的命題個數(shù)是(  )
A.1個B.2個C.3個D.4個

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6.已知△ABC的頂點A(-3,0)和頂點B(3,0),頂點C在橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上,則$\frac{5sinC}{sinA+sinB}$=3.

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