分析 根據(jù)$f({x-1})=\frac{1}{f(x)-1}$,當x∈[-1,0]時,f(x)=x,求出x∈(0,1)時,f(x)的解析式,由在區(qū)間(-1,1]上,g(x)=f(x)-mx+m有兩個零點,轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點,利用圖象直接的結(jié)論.
解答 解:∵x∈(-1,0)時,f(x)=x,∴當x∈(0,1]時,x-1∈(-1,0),$f({x-1})=\frac{1}{f(x)-1}$,可得x-1=$\frac{1}{f(x)-1}$,所以f(x)=$\frac{1}{x-1}+1$,作出f(x)在[-1,1)上的圖象,如圖:
因為g(x)=f(x)-mx-m有兩個零點,所以y=f(x)的圖象與直線y=mx-m有兩個交點,由圖象可知m∈(0,$\frac{1}{2}$].
故答案為:(0,$\frac{1}{2}$].
點評 此題是個中檔題.本題考查了利用函數(shù)零點的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數(shù)解析式,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,以及利用函數(shù)圖象解決問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.也考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問題的能力.
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