Question

16．若函數(shù)f（x）滿足$f（{x-1}）=\frac{1}{f（x）-1}$，當x∈[-1，0]時，f（x）=x，若在區(qū)間[-1，1]上，g（x）=f（x）-mx+m有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)$f（{x-1}）=\frac{1}{f（x）-1}$，當x∈[-1，0]時，f（x）=x，求出x∈（0，1）時，f（x）的解析式，由在區(qū)間（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx+m有兩個零點，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點，利用圖象直接的結(jié)論．

解答 解：∵x∈（-1，0）時，f（x）=x，∴當x∈（0，1]時，x-1∈（-1，0），$f（{x-1}）=\frac{1}{f（x）-1}$，可得x-1=$\frac{1}{f（x）-1}$，所以f（x）=$\frac{1}{x-1}+1$，作出f（x）在[-1，1）上的圖象，如圖：
因為g（x）=f（x）-mx-m有兩個零點，所以y=f（x）的圖象與直線y=mx-m有兩個交點，由圖象可知m∈（0，$\frac{1}{2}$]．
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$]．

點評 此題是個中檔題．本題考查了利用函數(shù)零點的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及利用函數(shù)圖象解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．也考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問題的能力．