Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+6a₅，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=3a₁，則

1

m

+

4

n

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：把所給的數(shù)列的三項(xiàng)之間的關(guān)系，寫出用第五項(xiàng)和公比來表示的形式，求出公比的值，整理所給的條件，寫出m，n之間的關(guān)系，用分別求出當(dāng)n=1，2，3時(shí)

1

m

+

4

n

的值，再比較大小即可得到最小值．

解答： 解：∵a₇=a₆+6a₅，
∴a₅q²=a₅q+6a₅，
∴q²-q-6=0，
∴q=3，q=-2（舍去），
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=3a₁，
∴a_ma_n=9a₁²，
∴3^m+n-2=9，
∴m+n=4，
∴

1

m

+

4

n

=

1

4-n

+

4

n

=f（n）
令n=1，f（1）=

1

3

+4=

13

3

；
令n=2，f（2）=

5

2

；
令n=3，f（3）=

7

3

；
經(jīng)過比較可得最小值為

7

3

．
故答案為：

7

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．