【題目】若F1，F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)

(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F1的距離等于7，求點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離；

(2)若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)雙曲線的定義解答；

（2）利用雙曲線的方程求得|F1F2|和|PF1|﹣|PF2|，進(jìn)而利用配方法求得|PF1|2+|PF2|2的值代入余弦定理求得cos∠F1PF2 的值進(jìn)而求得∠F1PF2從而得到三角形的面積.

解：(1)由雙曲線的定義得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，

又雙曲線上一點(diǎn)M到它左焦點(diǎn)的距離等于7，假設(shè)點(diǎn)M到右焦點(diǎn)的距離等于x，

則|7－x|＝6，解得x＝1或x＝13.

由于c－a＝5－3＝2,1<2,13>2，

故點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為13.

(2)將||PF2|－|PF1||＝2a＝6，兩邊平方得

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.

在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝

＝＝0，

∴∠F1PF2＝90°，

∴△F1PF2的面積為|PF1|·|PF2|＝×32＝16.

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（2）已知、是橢圓上的兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).

①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

②當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，試問直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說明理由.

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