Question

4．已知四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，其三視圖如下，若M是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面MAC；
（2）求證：CD⊥平面PAD；
（3）求直線CM與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由三視圖還原原圖形，可得四棱錐P-ABCD的底面為正方形，連接AC，BD相交于O，則BO=DO，又M為PD的中點，由三角形中位線定理可得OM∥PB，再由線面平行的判定可得PB∥平面MAC；
（2）由已知PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，結合ABCD為正方形，得CD⊥AD，由線面垂直的判定可得CD⊥平面PAD；
（3）由（2）知，∠CMD為直線CM與平面PAD所成角．求解直角三角形得答案．

解答 （1）證明：由三視圖還原原幾何體如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形．

連接AC，BD相交于O，則BO=DO，又M為PD的中點，
連接OM，則OM∥PB，
∵OM?平面AMC，PB?平面AMC，
∴PB∥平面MAC；
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又ABCD為正方形，∴CD⊥AD，
又PA⊥AD=A，
∴CD⊥平面PAD；
（3）由（2）知，∠CMD為直線CM與平面PAD所成角．
∵PA=2，AD=1，∴PD=$\sqrt{5}$，則MD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴MC=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}+{1}^{2}}=\frac{3}{2}$，則sin∠CMD=$\frac{CD}{CM}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$．
∴直線CM與平面PAD所成角的正弦值$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查線面角的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．