分析 (1)由三視圖還原原圖形,可得四棱錐P-ABCD的底面為正方形,連接AC,BD相交于O,則BO=DO,又M為PD的中點,由三角形中位線定理可得OM∥PB,再由線面平行的判定可得PB∥平面MAC;
(2)由已知PA⊥平面ABCD,得PA⊥CD,結合ABCD為正方形,得CD⊥AD,由線面垂直的判定可得CD⊥平面PAD;
(3)由(2)知,∠CMD為直線CM與平面PAD所成角.求解直角三角形得答案.
解答 (1)證明:由三視圖還原原幾何體如圖,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形.
連接AC,BD相交于O,則BO=DO,又M為PD的中點,
連接OM,則OM∥PB,
∵OM?平面AMC,PB?平面AMC,
∴PB∥平面MAC;
(2)證明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
又ABCD為正方形,∴CD⊥AD,
又PA⊥AD=A,
∴CD⊥平面PAD;
(3)由(2)知,∠CMD為直線CM與平面PAD所成角.
∵PA=2,AD=1,∴PD=$\sqrt{5}$,則MD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
∴MC=$\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^{2}+{1}^{2}}=\frac{3}{2}$,則sin∠CMD=$\frac{CD}{CM}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$.
∴直線CM與平面PAD所成角的正弦值$\frac{2}{3}$.
點評 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定,考查線面角的求法,考查空間想象能力和思維能力,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{3}$-1 | B. | $\frac{\sqrt{11}}{2}$-1 | C. | 2 | D. | $\frac{\sqrt{10}}{2}$-1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | ($\frac{3}{2}$,2) | B. | (1,2] | C. | [$\frac{3}{2}$,2] | D. | (1,2) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | M=N=P | B. | M?P=N | C. | M∩P=N | D. | N∩P=N |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 有3個 | B. | 有2個 | C. | 有且只有1個 | D. | 不存在 |
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