Question

已知函數(shù)．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵f（x）的定義域為R，設(shè)x₁＜x₂，
則=，
∵x₁＜x₂，∴，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），即，
解得：．∴．
（3）由（2）知（4），∵2^x+1＞1（5），∴（6），∴，∴
所以f（x）的值域為．
分析：（1）先設(shè)x₁＜x₂，欲證明不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)，只須證明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，利用定義得出f（-x）=-f（x），從而求得a值即可；
（3）由（2）知（4），利用指數(shù)函數(shù)2^x的性質(zhì)結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得f（x）的值域．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．