Question

．已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋－1，g(x)＝－x²＋2bx－4，若對任意x₁∈(0,2)，x₂∈[1,2]，不等式f(x₁)≥g(x₂)恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解　問題等價于f(x)_min≥g(x)_max.因?yàn)?i>f(x)＝lnx－x＋－1，所以f′(x)＝－－＝，由f′(x)>0，得x²－4x＋3<0，解得1<x<3，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,3]，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1]和[3，＋∞)，故在區(qū)間(0,2)上，x＝1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，這個極小值點(diǎn)是唯一的，故也是最小值點(diǎn)，所以f(x)_min＝f(1)＝－.由于函數(shù)g(x)＝－x²＋2bx－4，x∈[1,2]，當(dāng)b<1時，g(x)_max＝g(1)＝2b－5；當(dāng)1≤b≤2時，g(x)_max＝g(b)＝b²－4；當(dāng)b>2時，g(x)_max＝g(2)＝4b－8.

故問題等價于

或

解第一個不等式組，得b<1，解第二個不等式組，得1≤b≤，第三個不等式組無解．

綜上所述，b的取值范圍是.