Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是， ，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是， ，可得 ，橢圓經(jīng)過點(diǎn)可得 ，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線的方程為，

代入方程并整理，得，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng).

試題解析：（1）由已知得，橢圓的焦點(diǎn)在軸上.

可設(shè)橢圓的方程為，

點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，可得，

由題意可知，則有，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由已知得，直線的方程為，

代入方程并整理，得.

設(shè)，則，

則

.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以、韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.