Question

 如圖1­6所示，四棱柱ABCD ­A₁B₁C₁D₁的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A₁C₁∩B₁D₁＝O₁，四邊形ACC₁A₁和四邊形BDD₁B₁均為矩形．

(1)證明：O₁O⊥底面ABCD；

(2)若∠CBA＝60°，求二面角C₁­OB₁­D的余弦值．

圖1­6

Answer 1

解：(1)如圖(a)，因?yàn)樗倪呅?i>ACC₁A₁為矩形，所以CC₁⊥AC.同理DD₁⊥BD.

因?yàn)?i>CC₁∥DD₁，所以CC₁⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC₁⊥底面ABCD.

由題設(shè)知，O₁O∥C₁C.故O₁O⊥底面ABCD.

(2)方法一： 如圖(a)，過O₁作O₁H⊥OB₁于H，連接HC₁.

由(1)知，O₁O⊥底面ABCD，所以O₁O⊥底面A₁B₁C₁D₁，于是O₁O⊥A₁C₁.

圖(a)

又因?yàn)樗睦庵?i>ABCD ­A₁B₁C₁D₁的所有棱長都相等，所以四邊形A₁B₁C₁D₁是菱形，

因此A₁C₁⊥B₁D₁，從而A₁C₁⊥平面BDD₁B₁，所以A₁C₁⊥OB₁，于是OB₁⊥平面O₁HC₁.

進(jìn)而OB₁⊥C₁H.故∠C₁HO₁是二面角C₁­OB₁­D的平面角．

不妨設(shè)AB＝2.因?yàn)椤?i>CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，OB₁＝.

在Rt△OO₁B₁中，易知O₁H＝＝2.而O₁C₁＝1，于是C₁H＝＝＝.

故cos∠C₁HO₁＝＝＝.

即二面角C₁­OB₁­D的余弦值為.

方法二：因?yàn)樗睦庵?i>ABCD ­A₁B₁C₁D₁的所有棱長都相等，所以四邊形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O₁O⊥底面ABCD，從而OB，OC，OO₁兩兩垂直．

圖(b)

如圖(b)，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OO₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O ­xyz，不妨設(shè)AB＝2.因?yàn)椤?i>CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，于是相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0，0，0)，

B₁(，0，2)，C₁(0，1，2)．

易知，n₁＝(0，1，0)是平面BDD₁B₁的一個(gè)法向量．

設(shè)n₂＝(x，y，z)是平面OB₁C₁的一個(gè)法向量，則即

取z＝－，則x＝2，y＝2，所以n₂＝(2，2，－)．

設(shè)二面角C₁­OB₁­D的大小為θ，易知θ是銳角，于是

cos θ＝|cos〈n₁，n₂〉|＝＝＝.

故二面角C₁­OB₁­D的余弦值為.