Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：面BB₁DD₁⊥面AB₁C；
（2）求二面角A-B₁C-D₁的平面角的余弦值（理）；
（3）求直線B₁C與平面ABCD所成角（文）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理即可證明面BB₁DD₁⊥面AB₁C；
（2）根據(jù)二面角的定義先找出二面角，即可求二面角A-B₁C-D₁的平面角的余弦值（理）；
（3）根據(jù)直線和平面所成角的定義即可求直線B₁C與平面ABCD所成角（文）．

解答： （1）證明：∵D₁D⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴D₁D⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC?面AB₁C，
∴面BB₁DD₁⊥面AB₁C；
（2）過(guò)點(diǎn)A點(diǎn)作AO⊥B₁C交B₁C于O，則O點(diǎn)為B₁C的中點(diǎn)，連結(jié)D₁O，D₁C，
則D₁B₁=B₁C=CD₁，
∴D₁O⊥B₁C，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，連結(jié)AD₁，
在△AOD中，AO=

6

2

，OD₁=

6

2

，AD₁=

2

，
由余弦定理得cos∠AOD1=

AO2+O D 2 1 -A D 2 1

2AO•OD1

=

1

3

，
即二面角A-B₁C-D₁的平面角的余弦值為

1

3

；
（3）直線B₁C在平面ABCD的射影為BC，
則∠B₁CB是直線B₁C與平面ABCD所成的角，
則∠B₁CB=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面面垂直的判定依據(jù)空間角的求解，要求熟練相應(yīng)的判斷定理以及空間角的求解．