分析 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$,$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1.將A、B代入橢圓方程可得:$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1,相減可得:a2=2b2,又c=$\sqrt{2}$,a2=b2+c2,解得即可得出.
(2)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),則$\overrightarrow{GC}$=$({x}_{1}+\frac{9}{4},{y}_{1})$,$\overrightarrow{GD}$=$({x}_{2}+\frac{9}{4},{y}_{2})$.直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為(m2+2)y2-2my-3=0,利用根與系數(shù)的共線及其數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.
解答 解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).
則x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$,$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1.
將A、B代入橢圓方程可得:$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1,
相減可得:(1)-(2)得到$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-1,
又OP的斜率為$\frac{1}{2}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$,
∴a2=2b2,又c=$\sqrt{2}$,a2=b2+c2,
解得a=2,b2=2.
得到標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$.
(2)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),則$\overrightarrow{GC}$=$({x}_{1}+\frac{9}{4},{y}_{1})$,$\overrightarrow{GD}$=$({x}_{2}+\frac{9}{4},{y}_{2})$.
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$,化為(m2+2)y2-2my-3=0,
∴y1+y2=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$,y1y2=$\frac{-3}{{m}^{2}+2}$,
從而$\overrightarrow{GC}•\overrightarrow{GD}$=$({x}_{1}+\frac{9}{4})({x}_{2}+\frac{9}{4})$+y1y2=$(m{y}_{1}+\frac{5}{4})$$(m{y}_{2}+\frac{5}{4})$+y1y2=(m2+1)y1y2+$\frac{5}{4}m({y}_{1}+{y}_{2})$+$\frac{25}{16}$=$\frac{-3({m}^{2}+1)}{{m}^{2}+2}$+$\frac{5{m}^{2}}{2({m}^{2}+2)}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{17{m}^{2}+2}{16({m}^{2}+2)}$>0.
又$\overrightarrow{GC}$,$\overrightarrow{GD}$不共線.
∴∠AGB為銳角.
故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外.
點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次的根與系數(shù)的共線、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | INPUT“MATH=”;a | B. | PRINT“MATH=”;a+b+c | ||
C. | y=b-c | D. | a+b=c |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $-\frac{π}{4}$ | B. | $-\frac{π}{2}$ | C. | $\frac{π}{8}$ | D. | $\frac{5π}{4}$ |
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A. | (1,$\frac{1}{{e}^{2}}$+2] | B. | [$\frac{1}{{e}^{2}}$+2,e2-2] | C. | (1,e2-2] | D. | [e2-2,+∞) |
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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