Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，若對于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，有f（x）＞0．
（1）證明：f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：f（x）在[-1，1]為單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先利用特殊值法，求證f（0）=0，令y=-x即可求證；（2）由（1）得f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），利用定義法進(jìn)行證明；

解答： 解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)
（2）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)；
令-1≤x₁＜x₂≤1，
則有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)；

點(diǎn)評(píng)：考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．