Question

【題目】已知點(diǎn)在曲線上，⊙過(guò)原點(diǎn)，且與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，若線段，⊙和曲線上分別存在點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)，使得四邊形（點(diǎn)， ， ， 順時(shí)針排列）是正方形，則稱點(diǎn)為曲線的“完美點(diǎn)”．那么下列結(jié)論中正確的是（ ）．

A. 曲線上不存在”完美點(diǎn)”

B. 曲線上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)大于

C. 曲線上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)大于且小于

D. 曲線上存在兩個(gè)“完美點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)均大于

Answer 1

【答案】B

【解析】如圖，如果點(diǎn)為“完美點(diǎn)”則有，以為圓心， 為半徑作圓（如圖中虛線圓）交軸于， （可重合），交拋物線于點(diǎn)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在圓上總存在點(diǎn)，使得為的角平分線，即，利用余弦定理可求得此時(shí)，即四邊形是正方形，即點(diǎn)為“完美點(diǎn)”，如圖，結(jié)合圖象可知，點(diǎn)一定是上方的交點(diǎn)，否則在拋物線上不存在使得， 也一定是上方的點(diǎn)，否則， ， ， ， 不是順時(shí)針，再考慮當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)越來(lái)越大時(shí)， 的變化情況：

設(shè)，當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)圓與軸相離，此時(shí)點(diǎn)不是“完美點(diǎn)”，故只需要考慮，當(dāng)增加時(shí)， 越來(lái)越小，且趨近于，而當(dāng)時(shí)， ；故曲線上存在唯一一個(gè)“完美點(diǎn)”其橫坐標(biāo)大于．故選．