Question

設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[1]=1，[1.3]=1，[-1.5]=-2，給出下列命題：
①若函數(shù)f（x）=[x]-x，則有f（x+1）=f（x）；
②若函數(shù)f（x）=[x]-x，則f（x）的值域?yàn)椋?1，0]；
③當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，方程[2sinx]=|

2

|的解集為[

π

6

，

5π

6

]；
④當(dāng)x∈[0，n）（n∈N⁺）時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=[x]的值域?yàn)锳_n，記A_n中的元素個(gè)數(shù)為a_n，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n(n+1)

2

．
其中正確的命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：符號(hào)[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，由周期函數(shù)的定義證明此函數(shù)為周期函數(shù)，從而判定①；
求出一個(gè)周期的上的值域，即為整個(gè)函數(shù)的值域，可以判定②；
由[2sinx]是整數(shù)知方程無(wú)解，可以判定③；
由題意知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且通項(xiàng)公式為a_n=n，可以求出前n項(xiàng)和S_n，從而判定④．

解答： 解：①∵f（x）=[x]-x，∴f（x+1）=[x+1]-（x+1）=[x]+1-x-1=[x]-x=f（x），∴①正確；
②由①知f（x）是以1為周期的函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=[x]-x=0-x=-x，
∴函數(shù){x}的值域?yàn)椋?1，0]，∴②正確；
③當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0≤2sinx≤2，∴[2sinx]=0，或1，或2；
∴方程[2sinx]=|

2

|無(wú)解，∴③錯(cuò)誤；
④當(dāng)x∈[0，n）（n∈N⁺）時(shí)，函數(shù)g（x）=[x]的值域?yàn)锳_n，記A_n中的元素個(gè)數(shù)為a_n，
∴a_n=n，則等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n(n+1)

2

，∴④正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義的函數(shù)解析式以及性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意新定義的靈活運(yùn)用．