Question

14．如圖：在四棱錐E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求證：平面ACE⊥平面CDE；
（2）在線段DE上是否存在一點F，使AF∥平面BCE？若存在，求出$\frac{EF}{ED}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥平面ADE，可得CD⊥AE，進而得到AE⊥平面CDE，即可證明平面ACE⊥平面CDE；
（2）在線段DE上存在一點F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$，設F為線段DE上的一點，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．過F作FM∥CD交CE于點M，由線面垂直的性質可得：CD∥AB．可得四邊形ABMF是平行四邊形，于是AF∥BM，即可證明AF∥平面BCE．

解答 （1）證明：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，
又AE⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE，
又AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面CDE；
（2）解：在線段DE上存在一點F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
下面給出證明：設F為線段DE上的一點，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
過F作FM∥CD交CE于點M，則FM=$\frac{1}{3}$CD，
∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴CD∥AB．又CD=3AB，
∴MF∥AB，MF=AB，
∴四邊形ABMF是平行四邊形，
∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE．
∴AF∥平面BCE．

點評 本題考查了線面面面垂直與平行的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．