Question

已知函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的圖象分別與x，y軸相交于兩點(diǎn)A，B，且向量

AB

=2

i

+2

j

（

i

，

j

分別是與x，y軸正半軸同方向的單位向量），又函數(shù)g（x）=x²-x+a-2（a∈R）．
（1）求k，b的值；
（2）若不等式

g(x)+2

f(x)

≤1的解集為（-∞，-2）∪[-1，3]，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由條件可知兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(-

b

k

，0)，B(0，b)，可得

AB

=(

b

k

，b)，已知

AB

=2i+2j=(2，2)，即可得出；
（2）由（1）可知f（x）=x+2，不等式

g(x)+2

f(x)

≤1化為

x2-2x+a-2

x+2

≤0，由于其解集為（-∞，-2）∪[-1，3]，可知-1，3是方程x²-2x+a-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）由條件可知兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(-

b

k

，0)，B(0，b)．
∴

AB

=(

b

k

，b)，
∵

AB

=2i+2j=(2，2)，
∴

b k =2 b=2

，
解得

k=1 b=2.

（2）由（1）可知f（x）=x+2，
∵

g(x)+2

f(x)

=

x2-x+a

x+2

≤1，
∴

x2-2x+a-2

x+2

≤0，
∵其解集為（-∞，-2）∪[-1，3]，
∴-1，3是方程x²-2x+a-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a-2=-3，a=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線與坐標(biāo)相交問(wèn)題、不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．