Question

已知與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸，y軸于A，B兩點，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（Ⅰ）求證：（a-2）（b-2）=2；
（Ⅱ）求線段AB中點的軌跡方程；
（Ⅲ）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用,圓方程的綜合應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）設直線方程，利用圓心到該直線的距離等于半徑，建立方程，化簡可得結(jié)論；
（Ⅱ）設AB中點M（x，y），則a=2x，b=2y，利用代入法，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）由（a-2）（b-2）=2得ab+2=2（a+b）≥4

ab

，結(jié)合三角形的面積公式，可求△AOB面積的最小值．

解答： （Ⅰ）證明：圓的標準方程是（x-1）²+（y-1）²=1，
設直線方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
所以圓心到該直線的距離d=

|a+b-ab|

a2+b2

=1，
即a²+b²+a²b²+2ab-2a²b-2ab²=a²+b²，
即a²b²+2ab-2a²b-2ab²=0，
即ab+2-2a-2b=0，即（a-2）（b-2）=2．
（Ⅱ）解：設AB中點M（x，y），則a=2x，b=2y，
代入（a-2）（b-2）=2，得（x-1）（y-1）=

1

2

（x＞1，y＞1）．
（Ⅲ）解：由（a-2）（b-2）=2得ab+2=2（a+b）≥4

ab

，
解得

ab

≥2+

2

（舍去

ab

≤2-

2

），
當且僅當a=b時，ab取最小值6+4

2

，
所以△AOB面積的最小值是3+2

2

．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查代入法求軌跡方程，考查基本不等式的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．