Question

過點(diǎn)（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：由題意可設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0．由于直線l過點(diǎn)（1，2），代入直線方程得到

1

a

+

2

b

=1．利用基本不等式即可得出ab的最小值，取得最小值時(shí)a，b，即可得到直線l的方程．

解答：解：由題意可設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0．
∵直線l過點(diǎn)（1，2），
∴

1

a

+

2

b

=1．
∴1=

1

a

+

2

b

≥2

2 ab

，
∴ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

=

2

b

=

1

2

，即a=2，b=4是取等號(hào)．
此時(shí)△AOB的面積取得最小值

1

2

ab即4，直線l的方程為

x

2

+

y

4

=1，即2x+y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的截距式方程、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積，屬于基礎(chǔ)題．