Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，證明不等式.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;（2）;（3）詳見解析

【解析】

試題（1）先求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，導(dǎo)數(shù)正得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)負(fù)得減區(qū)間．在解不等式的過程中注意討論的符號．（2）由（1）知函數(shù)的極值點是,則．可將轉(zhuǎn)化為,令,求導(dǎo),討論導(dǎo)數(shù)的符號,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求其最小值．則應(yīng)小于等于函數(shù)的最小值．（3）因為,則，．則證明．構(gòu)造函數(shù),證此函數(shù)在上單調(diào)遞增即可．即證在上即可．

試題解析：（1）解 ．

當(dāng)時，，從而，

函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，若，則，從而，

若，則，從而，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）解 根據(jù)（1）函數(shù)的極值點是，若，則．

所以，即，

由于，即．

令，則，

可知為函數(shù)在內(nèi)唯一的極小值點，也是最小值點，故，

所以的最小值是，

故只要即可，

故的取值范圍是．

（3）證明不等式．

構(gòu)造函數(shù)，

則，

可知函數(shù)在上，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，

所以，所以，

所以．