Question

【題目】如圖，四棱錐中，是邊長等于2的等邊三角形，四邊形是菱形，，，是棱上的點，.，分別是，的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）由直線與平面平行的判定定理，即可證明平面；

（2）先證明、、兩兩垂直，然后以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和直線的方向向量，由向量夾角余弦值即可確定線面角的正弦值.

（1）取中點，連結(jié)，，因為，是的中點，所以，，又，不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，所以平面，平面，又交于點；所以平面平面，∴平面.

（2）∵，，故.

又，，，從而.

從，可得平面

平面平面，，平面

以、、為、、軸建系得

，，，，, 則，

,,

設(shè)平面的法向量為，則，即，令，

則，記直線與平面所成角為，所以有

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.