Question

已知AC，BD為圓：x²+y²=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，0），則四邊形ABCD面積的最大值是（ ）
A．7
B．5
C．2
D．

Answer 1

【答案】分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，再由M的坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理得到d₁²+d₂²=OM²，由M和O的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出OM²，進(jìn)而得到d₁²+d₂²的值，再由圓的半徑，弦心距及弦長(zhǎng)的一半，由半徑的值表示出|AB|與|CD|的長(zhǎng)，又四邊形ABCD的兩對(duì)角線互相垂直，得到其面積為兩對(duì)角線乘積的一半，表示出四邊形的面積，并利用基本不等式變形后，將求出的d₁²+d₂²的值代入，即可得到面積的最大值．
解答：解：∵圓O：x²+y²=4，∴圓心O坐標(biāo)（0，0），半徑r=2，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
∵M(jìn)（1，0），∴d₁²+d₂²=OM²=1，
∴四邊形ABCD的面積S=|AB|•|CD|=2≤8-（d₁²+d₂²）=7，當(dāng)且僅當(dāng)d₁² =d₂²時(shí)取等號(hào)，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓中弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是四邊形面積可用互相垂直的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之積的一半來(lái)計(jì)算．