Question

給出定義：若x-

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≤m＜x+

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 （其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m．例如{0.1}=0，{0.5}=0，{0.6=1}．如果定義函數(shù)f（x）=x-{x}，給出下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-

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，

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]；
②函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，2]上有5個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在（-

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，

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）上是增函數(shù)．
其中正確的是（　　）

• A、①②
• B、②④
• C、②③
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù)的值域，可判斷①；分析出函數(shù)y=f（x）=0在區(qū)間[-2，2]上解的個(gè)數(shù)，可判斷②；分析函數(shù)的奇偶性，可判斷③；而由①的結(jié)論，易判斷函數(shù)y=f（x）在 （-

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，

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）上的單調(diào)性，可判斷④成立．

解答： 解：①中，令x=m+a，a∈[-

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，

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），m∈Z，
∴f（x）=x-{x}=a∈[-

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，

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2

），所以①錯(cuò)誤；
②中令x=m+a，a∈[-

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，

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），m∈Z，
∴當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x-{x}=a；
此時(shí)m為整數(shù)，故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，2]上有5個(gè)零點(diǎn)，
故②正確；
③中，x=-

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時(shí)，f（-

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）=-

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，
x=

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時(shí)，f（

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）=-

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，故函數(shù)y=f（x）不是奇函數(shù)，
故③錯(cuò)誤；
④中，當(dāng)x∈（-

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，

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）時(shí)，f（x）=x-{x}=x為增函數(shù)，
故④正確；
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用函數(shù)的三要素、性質(zhì)判斷命題的真假，我們要根據(jù)定義中給出的函數(shù)，結(jié)合求定義域、值域的方法，及對(duì)稱性、奇偶性和單調(diào)性的證明方法，對(duì)4個(gè)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證．