Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-3x+1，g（x）=Asin（x-

π

6

）（A≠0）
（1）當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，求y=f（sinx）的最大值；
（2）若對(duì)任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍；
（3）問(wèn)a取何值時(shí)，不等式f（sinx）＜a-sinx在[0，2π]上恒成立？

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，設(shè)t=sinx，則0≤t≤1，y=2（t²-

3

2

t）+1，利用配方法能求出t=0時(shí)，y=f（sinx）取最大值1．
（2）由已知條件推導(dǎo)出-

1

2

≤sin(x2-

π

6

)≤1．依據(jù)題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，由已知條件能求出實(shí)數(shù)A的取值范圍．
（3）f（sinx）＜a-sinx化為2sin²x-2sinx+1＜a在[0，2π]上恒成立，由此利用換元法能求出a＞5．

解答： 解：（1）由題意知y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，
設(shè)t=sinx，x∈[0，

π

2

]，則0≤t≤1，
∴y=2（t²-

3

2

t）+1=2（t-

3

4

）²-

1

8

，
當(dāng)t=0時(shí)，y=f（sinx）取最大值1．
（2）當(dāng)x₁∈[0，3]時(shí)，f（x₁）值域?yàn)閇-

1

8

，10]，
當(dāng)x₂∈[0，3]時(shí)，則-

π

6

≤x2-

π

6

≤3-

π

6

，
∴-

1

2

≤sin(x2-

π

6

)≤1．
①當(dāng)A＞0時(shí)，g（x₂）值域?yàn)閇-

1

2

A，A]，
②當(dāng)A＜0時(shí)，g（x₂）值域?yàn)閇A，-

1

2

A]，
而依據(jù)題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，
則

A＞0 10＜A - 1 8 ≥- 1 2 A

或

A＜0 10≤- 1 2 A - 1 8 ≥A

，
∴A≥10或A≤-20．
（3）等式f（sinx）＜a-sinx在[0，2π]上恒成立，
等價(jià)于2sin²x-2sinx+1＜a在[0，2π]上恒成立，
令t=sinx，則t∈[-1，1]，
∴y=2t2-2t+1=2(t-

1

2

)2+

1

2

∈[

1

2

，5]．
∴a＞5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．是中檔題．