Question

2．已知命題p：?x∈[0，1]，使${（{\frac{1}{2}}）^{x-1}}-m≥0$恒成立，命題$q：?x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，使函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx-m$有零點，若命題“p∧q”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：當x∈[0，1]時，$1≤{（{\frac{1}{2}}）^{x-1}}≤2$，要使${（{\frac{1}{2}}）^{x-1}}-m≥0$恒成立，需滿足m≤$[（\frac{1}{2}）^{x-1}]_{min}$．命題q：$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx-m=2sin（{x+\frac{π}{6}}）-m$，當$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時，$0≤x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$，$0≤2sin（{x+\frac{π}{6}}）≤2$，要使$?x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx-m$有零點，即可得出m的取值范圍．因為命題“p∧q”為真命題，所以p真，q真，進而得出．

解答 解：命題p：當x∈[0，1]時，$1≤{（{\frac{1}{2}}）^{x-1}}≤2$，要使${（{\frac{1}{2}}）^{x-1}}-m≥0$恒成立，需滿足m≤1；
命題q：$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx-m=2sin（{x+\frac{π}{6}}）-m$，當$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時，$0≤x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$，$0≤2sin（{x+\frac{π}{6}}）≤2$，要使$?x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx-m$有零點，需滿足0≤m≤2，
因為命題“p∧q”為真命題，所以p真，q真，
所以0≤m≤1．

點評 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．