Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d為奇函數(shù)，且在x=-1處取得極大值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）+（m+2）x≤x（e^x+x²-x-3）對(duì)于任意的x∈[0，+∞]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）過點(diǎn)A（1，t）（t≠-2）可作函數(shù)f（x）圖象的三條切線，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得b=d=0，進(jìn)而f′（x）=3ax²+c，結(jié)合函數(shù)f（x）在x=-1處取得極大值2，故

f′(-1)=3a+c=0 f(-1)=-a-c=2

，由此能求出f（x）解析式．
（2）由已知得x³-3x+（m+2）x≤x²（e^x-1），（m+2）x≤x²（e^x-1）-x³+3x，由此利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）設(shè)切點(diǎn)為（x₁，y₁），則

y1 =x 3 1 -3x1 y1-t x1-1 =3x 2 1 -3

，消去y₁得t=-2x₁³+3x₁²-3，設(shè)h（x）=-2x³+3x²-3，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍）．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d為奇函數(shù)，
∴b=d=0，
∴f′（x）=3ax²+c，
∵f（x）在x=-1處取得極大值2，
∴

f′(-1)=3a+c=0 f(-1)=-a-c=2

，
解得a=1，c=-3，
∴f（x）解析式為f（x）=x³-3x．
（2）∵f（x）+（m+2）x≤x²（e²-1）對(duì)于任意的x∈[0，+∞]恒成立，
∴x³-3x+（m+2）x≤x²（e^x-1）對(duì)于任意的x∈[0，+∞]恒成立，
從而（m+2）x≤x²（e^x-1）-x³+3x對(duì)于任意的x∈[0，+∞]恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，m∈R，
當(dāng)x＞0時(shí)，∴m+2≤xe^x-x-x²+3，∴m≤x（e^x-x-1）+1，
設(shè)t（x）=e^x-x-1，則t′（x）=e^x-1＞0，
∴t（x）在（0，+∞）遞增，t（x）＞t（0）=0，
∴g（x）=x（e^x-x-1）+1＞1，
從而m≤1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]．
（3）設(shè)切點(diǎn)為（x₁，y₁），則

y1 =x 3 1 -3x1 y1-t x1-1 =3x 2 1 -3

，
消去y₁得t=-2x₁³+3x₁²-3，
設(shè)h（x）=-2x³+3x²-3，則h′（x）=-6x²+6x=-6x（x-1），
由h′（x）＞0，得0＜x＜1，由h′（x）＜0，得x＜0或x＞1，
∴h（x）在（-∞，0），（1，+∞）遞減，（0，1）遞增，
∴h（x）_極小值=h（0）=-3，h（x）_極大值=h（1）=-2，
要使過點(diǎn)A（1，t）可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條切線，
則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-3，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．