Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點距離之和為2

5

，離心率為

5

5

，左、右焦點分別為F₁、F₂，點P是右準(zhǔn)線上任意一點，過F₂作直線PF₂的垂線F₂Q交橢圓于Q點．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）點P的縱坐標(biāo)為3，過P作動直線L與橢圓交于兩個不同點M，N，在線段MN上取點H（異于點M，N），滿足

MP

PN

=

MH

HN

，試證明點H恒在一定直線上．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的斜率,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點距離之和為2

5

，離心率為

5

5

，求出幾何量，即可得出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)PF₂⊥F₂Q，可得-y₁y₀=4（x₁-1），再利用直線的斜率公式，即可證明；
（3）設(shè)過P（5，3）的直線L與橢圓交于兩個不同點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點H（x，y），確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用4

x

2 1

+5

y

2 1

=20，4

x

2 2

+5

y

2 2

=20，即可得證．

解答： （1）解：由題意得2a=2

5

，e=

c

a

=

5

5

，a²=b²+c²，
解得a=

5

，b=2，c=1
所以橢圓E：

x2

5

+

y2

4

=1；
（2）證明：由（1）可知：橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

=5，F(xiàn)₂（1，0）
設(shè)P（5，y₀），Q（x₁，y₁）
因為PF₂⊥F₂Q，所以kQF2kPF2=

y0

5-1

•

y1

x1-1

=-1
所以-y₁y₀=4（x₁-1）
又因為k_PQk_OQ=

y1

x1

•

y1-y0

x1-5

=

y 2 1 -y1y0

x 2 1 -5x1

=

y 2 1 +4(x1-1)

x 2 1 -5x1

且

y

2 1

=4(1-

x 2 1

5

)化簡得k_PQk_OQ=-

4

5

即直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值-

4

5

；
（3）證明：設(shè)過P（5，3）的直線L與橢圓交于兩個不同點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點H（x，y），
則4

x

2 1

+5

y

2 1

=20，4

x

2 2

+5

y

2 2

=20
設(shè)

MP

PN

=

MH

HN

=λ，則

PM

=λ

PN

，

MN

=λ

HN

所以（x₁-5，y₁-3）=λ（x₂-5，y₂-3），（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y）
整理得5=

x1-λx2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，3=

y1-λy2

1-λ

，y=

y1+λy2

1+λ

從而5x=

x12-λ2x22

1-λ2

，3y=

y12-λ2y22

1-λ2

由于4

x

2 1

+5

y

2 1

=20，4

x

2 2

+5

y

2 2

=20
所以20x+15y=

4x 2 1 - 4λ2x 2 2 + 5y 2 1 - 5λ2y 2 2

1-λ2

=

4x 2 1 + 5y 2 1 -λ2( 4x 2 2 + 5y 2 2 )

1-λ2

=20
所以點H恒在直線20x+15y-20=0，即4x+3y-4=0上．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運用，考查斜率公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．