Question

如圖，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=2．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求三棱錐A₁一AB₁D的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接A₁B，交AB₁于E，連接DE，運用中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（2）三棱錐A₁一AB₁D的體積即為三棱錐D-A₁AB₁的體積．過C作CF⊥AB，即有B₁B⊥CF，則CF⊥平面ABB₁A₁，
過D作DH∥CF，交AB于H，則有DH⊥平面ABB₁A₁，再由棱錐的體積公式，計算即可得到體積．

解答： （1）證明：連接A₁B，交AB₁于E，連接DE，
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面為矩形，則E為A₁B的中點，
又D為BC的中點，
則有DE∥A₁C，
DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
故A₁C∥平面AB₁D；
（2）解：三棱錐A₁一AB₁D的體積即為三棱錐D-A₁AB₁的體積．
過C作CF⊥AB，由于B₁B⊥平面ABC，即有B₁B⊥CF，
則CF⊥平面ABB₁A₁，
過D作DH∥CF，交AB于H，則有DH⊥平面ABB₁A₁，
由等邊三角形ABC的邊長為2，則CF=

3

，DH=

3

2

，
則三棱錐D-A₁AB₁的體積為

1

3

DH•S_△AA1B1=

1

3

×

3

2

×

1

2

×2×2=

3

3

．
故三棱錐A₁一AB₁D的體積為

3

3

．

點評：本題考查線面平行的判定定理和運用，考查棱錐的體積公式及應(yīng)用，注意三棱錐的等積變換方法，屬于中檔題．