Question

如圖，PB為△ABC外接圓O的切線，BD平分∠PBC，交圓O于D，C，D，P共線．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，則圓O的半徑是

 

．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：立體幾何

分析：連結AD，由PB為圓O的切線，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，結合BD為∠PBC的平分線，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD與Rt△BPD的內(nèi)角關系得AD的長度，即得圓O的半徑．

解答： 解：如右圖所示，連結AD，∵PB為圓O的切線，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，
∵BD為∠PBC的平分線，∴∠PBD=∠CBD，
∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，
又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．
由PD=1，得BD=2PD=2．
在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圓O的直徑，且直徑AD=2BD=4，
∴圓O的半徑為2．
故答案為：2．

點評：本題考查了圓的弦切角定理及直角三角形的有關性質(zhì)等，解題的突破口是得到∠BDP與∠PBD的2倍關系．應記住一些常用的結論，如
（1）弦切角等于它夾的弧所對的圓周角．
（2）在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．
（3）同弧（或等�。┧鶎Φ膱A周角相等．
（4）90°的圓周角所對的弦是直徑，直徑所對的圓周角是90°．