Question

求函數(shù)f（x）=x²+2x+a-1在區(qū)間（-∞，

1

2

]上的零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出f（x）的最小值，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，從而得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：∵f（x）=（x+1）²+a-2，對(duì)稱軸x=-1，
∴f（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，

1

2

]遞增，
∴f（x）_min=a-2，
當(dāng)a-2＞0，即a＞2時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)a-2=0，即a=2時(shí)，f（x）與x軸有1個(gè)交點(diǎn)（-1，0），
當(dāng)a-2＜0，即a＜2時(shí)，令f（x）=0，解得x=-1±

2-a

，
令-1+

2-a

＞

1

2

，解得：a＜-

1

4

，
∴a＜-

1

4

時(shí)，f（x）與x軸有1個(gè)交點(diǎn)（-1-

2-a

，0），
-

1

4

≤a＜2時(shí)，f（x）與x軸有2個(gè)交點(diǎn)（-1-

2-a

，0），（-1+

2-a

，0），
綜上，a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)，
a=2時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)x=-1，
-

1

4

≤a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)x=-1±

2-a

，
a＜-

1

4

時(shí)，函數(shù)f（x）有1個(gè)零點(diǎn)x=-1-

2-a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，是一道中檔題．