Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點．
（1）求證：AM∥面SCD；
（2）設(shè)點N是線段CD上的一點，且

AN

在

AD

方向上的射影為a，記MN與面SAB所成的角為θ，問：a為何值時，sinθ取最大值？

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)已知條件容易發(fā)現(xiàn)，取BC中點E，連接AE，ME，則能夠證明平面AME∥平面SCD，所以AM∥面SCD；
（2）先找到MN與面SAB所成的角θ，根據(jù)已知條件，過N作NF∥AD，則NF⊥平面SAB，連接MF，MN，則∠FMN=θ，而sinθ=

NF

MN

，而根據(jù)已知條件知NF=a．所以根據(jù)條件求出MN即可，可以用a來表示MN．分別延長BA，CD相交于G，則有：

GA

GA+2

=

1

2

，所以可求出GA=2，而根據(jù)

a

2

=

2+2-FB

4

，可以用a表示出BF，這時候在△MBF中可根據(jù)余弦定理求出MF，所以在Rt△MNF中，可求出MN，即用a表示出MN=

5a2-12a+10

，所以sinθ=

a

5a2-12a+10

=

1 10( 1 a - 3 5 )2+ 7 5

，顯然當(dāng)

1

a

=

3

5

，即a=

5

3

時，sinθ最大．

解答： 解：（1）證明：如圖，取BC中點E，連接AE，ME，則：
ME∥SC，CE=1；
∵AD=1，AD∥CE；
∴四邊形ADCE是平行四邊形；
∴AE∥CD；
又SC，CD?平面SCD，ME，AE?平面SCD；
∴ME∥平面SCD，AE∥平面SCD，ME∩AE=E；
∴平面AME∥平面SCD，AM?平面AME；
∴AM∥平面SCD；
（2）過N作NF∥AD；
∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AD，即AD⊥SA；
又AD⊥AB，SA∩AB=A；
∴AD⊥平面SAB；
∴NF⊥平面SAB；
連接MF，MN，則：∠FMN是MN與面SAB所成的角；
∴∠FMN=θ；
由題意知NF=a，延長BA交CD延長線于G，則：

GA

GA+2

=

1

2

；
∴GA=2；
由

NF

BC

=

GF

GB

得：

a

2

=

4-FB

4

；
∴FB=4-2a；
在△MBF中，∠MBF=45°，BM=

2

，F(xiàn)B=4-2a，由余弦定理得：
MF²=FB²+BM²-2FB•BM•cos45°=4a²-12a+10；
∴在Rt△MNF中，MN=

5a2-12a+10

；
∴sinθ=

a

5a2-12a+10

=

1

5- 12 a + 10 a2

=

1

10[( 1 a )2- 6 5 ( 1 a )]+5

=

1

10( 1 a - 3 5 )2+ 7 5

；
∴

1

a

=

3

5

，即a=

5

3

時，sinθ取最大值

35

7

．

點評：考查線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)，以及余弦定理，配方法求二次函數(shù)的最值．