Question

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（2，

2

）．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）判斷y=f（x）在其定義域上的單調(diào)性，丙加以證明．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的性質(zhì),冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α，把點（4，2）代入求出α的值，即可求出函數(shù)的解析式；
（2）先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性的定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α，
因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，

2

），
所以2^α=

2

，解得α=

1

2

，
則冪函數(shù)的解析式為f(x)=

x

；
（2）函數(shù)f(x)=

x

在定義域[0，+∞）上為增函數(shù)，
證明如下：
任取x₁、x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

-

x2

=

( x1 - x2 )( x1 + x2 )

x1 + x2

=

x1-x2

x1 + x2

，
∵0≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，且

x1

+

x2

＞0，
∴

x1-x2

x1 + x2

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f(x)=

x

在定義域[0，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題考查待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，以及單調(diào)性的定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論進(jìn)行證明函數(shù)的單調(diào)性．