Question

一個(gè)袋中裝有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球. 已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是.

 (1) 若袋中共有10個(gè)球，①求白球的個(gè)數(shù)；②從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期；

(2) 求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于，并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少.

Answer 1

解：（1）①記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為，則，得到或（舍）.

故白球有5個(gè).                       ………………………………………………2分

②隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3.

由得隨機(jī)變量分布列如下表所示：

	0	1	2	3
P

故.      ………………………………6分

（2）證明：設(shè)袋中有個(gè)球，其中個(gè)黑球，由題意得，

所以，故.

記 “從袋中任意摸2個(gè)球，至少有1個(gè)黑球” 為事件B，

則.       …………………………………10分

所以白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于，紅球的個(gè)數(shù)少于.

故袋中紅球個(gè)數(shù)最少.