分析 (1)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算解不等式即可.
(2)根據(jù)f(0)=1,求f(x)的解析式,根據(jù)$f(x)={(\frac{1}{{\sqrt{2}}})^x}+λ$在閉區(qū)間[2,3]上有實(shí)數(shù)解,分離λ,可得λ=lg(x+10)-$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{x}$,令F(x)=lg(x+10)-$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{x}$,求在閉區(qū)間[2,3]上的值域即為λ的范圍.
(3)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(98,2),求f(x)的解析式,可得f(x)=lg(2+x)那么:不等式f[cos(2nx)]<lg2轉(zhuǎn)化為lg(2+cos(2nx))<lg2轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{2+cos({2}^{n}x)>0}\\{cos({2}^{n}x)<0}\end{array}\right.$,求解x,又∵2+x>0,即x>-2和n∈N.討論k的范圍可得答案.
解答 解:函數(shù)f(x)=lg(x+m)(m∈R);
(1)當(dāng)m=2時(shí),f(x)=lg(x+2)
那么:不等式$f(\frac{1}{x})>1$;即lg($\frac{1}{x}$+2)>lg10,
可得:$\frac{1}{x}+2>10$,且$\frac{1}{x}+2>0$
解得:$0<x<\frac{1}{8}$.
∴不等式的解集為{x|$0<x<\frac{1}{8}$}
(2)∵f(0)=1,可得m=10.
∴f(x)=lg(x+10)
$f(x)={(\frac{1}{{\sqrt{2}}})^x}+λ$,即lg(x+10)=$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{x}+λ$在閉區(qū)間[2,3]上有實(shí)數(shù)解,
可得λ=lg(x+10)-$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{x}$
令F(x)=lg(x+10)-$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{x}$,求在閉區(qū)間[2,3]上的值域.
根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知:F(x)是增函數(shù),
∴F(x)在閉區(qū)間[2,3]上的值域?yàn)閇lg12-$\frac{1}{2}$,lg13-$\frac{\sqrt{2}}{4}$]
故得實(shí)數(shù)λ的范圍是[lg12-$\frac{1}{2}$,lg13-$\frac{\sqrt{2}}{4}$].
(3)∵函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(98,2),
則有:2=lg(98+m)
∴m=2.
故f(x)=lg(2+x)
那么:不等式f[cos(2nx)]<lg2轉(zhuǎn)化為lg(2+cos(2nx))<lg2
即cos(2nx)<0對(duì)n∈N均成立,
若x是滿足條件的實(shí)數(shù),則有cosx≤-$\frac{1}{4}$,
因?yàn),?$\frac{1}{4}$<cosx<0,則cos2x=2cos2x-1<-$\frac{7}{8}$,則cos4x=2cos22x-1>0,
所以必有cos(2nx)≤-$\frac{1}{4}$;
得|cos(2nx)-$\frac{1}{2}$|≥$\frac{3}{4}$,又|cos2x+$\frac{1}{2}$|=2|cosx+$\frac{1}{2}$||cosx-$\frac{1}{2}$|≥$\frac{3}{2}$|cosx+$\frac{1}{2}$|,
得|cosx+$\frac{1}{2}$|≤$\frac{2}{3}$|cos2x+$\frac{1}{2}$|,重復(fù)運(yùn)用得到|cosx+$\frac{1}{2}$|≤…≤$(\frac{2}{3})^{n}$|cos(2nx)+$\frac{1}{2}$|<$(\frac{2}{3})^{n}$
n為自然數(shù),∴cosx+$\frac{1}{2}$=0,
級(jí)x=2kπ±$\frac{2π}{3}$,k∈Z.
驗(yàn)證,當(dāng)x=2kπ±$\frac{2π}{3}$,k∈Z時(shí),有cos(2nx)=-$\frac{1}{2}$,滿足題意.
所以,x的取值范圍為{x|x=2kπ±$\frac{2π}{3}$,k∈Z}
點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算以及不等式恒成立的問(wèn)題在對(duì)數(shù)與三角函數(shù)中的運(yùn)用.有點(diǎn)難度.
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