Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|，g（x）=-|x+3|+a，a∈R
（1）解關(guān)于x的不等式g（x）＞6；
（2）若函數(shù)y=2f（x）的圖象恒在函數(shù)y=g（x）的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式即-|x+3|+a＞6，即|x+3|＜a-6，分當(dāng)a≤6時(shí)和當(dāng)a＞6時(shí)兩種情況，分別求得不等式的解集．，
（2）由題意可得2f（x）-g（x）＞0，即a＜2|x-1|+|x+3|．設(shè)h（x）=2|x-1|+|x+3|=

-3x-1，x≤-3 5-x，-3＜x≤1 3x+1，x＞1

，利用單調(diào)性求的h（x）的最小值，可得a的范圍．

解答： 解：（1）不等式即-|x+3|+a＞6，即|x+3|＜a-6，
當(dāng)a≤6時(shí)無解；
當(dāng)a＞6時(shí)，由-（a-6）＜x+3＜a-6，即3-a＜x＜a-9，
求得不等式解集為（3-a，a-9）（a＞6）．
（2）y=2f（x）圖象恒在g（x）圖象上方，故2f（x）-g（x）＞0，等價(jià)于a＜2|x-1|+|x+3|．
設(shè)h（x）=2|x-1|+|x+3|=

-3x-1，x≤-3 5-x，-3＜x≤1 3x+1，x＞1

，根據(jù)函數(shù)h（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1]、增區(qū)間為（1，+∞），
可得當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最小值為4，∴a＜4時(shí)，函數(shù)y=2f（x）的圖象恒在函數(shù)y=g（x）的上方．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．