Question

（1）求對稱軸為坐標(biāo)軸，離心率e=

2

3

，短軸長為8

5

的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知雙曲線C₁與雙曲線C₂：

y2

4

-

x2

9

=1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)M（

9

2

，-1），求雙曲線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可解得a，c的值，注意焦點(diǎn)有兩種情況；
（2）由雙曲線方程和漸近線方程的關(guān)系，可設(shè)雙曲線C₁：

y2

4

-

x2

9

=λ（λ≠0），將M（

9

2

，-1）代入雙曲線
C₁方程，解得λ=-2，即可得到標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：（1）由離心率e=

2

3

，短軸長為8

5

，則2b=8

5

，

c

a

=

2

3

，b²=a²-c²，
解得a=12，b=4

5

，c-=8，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

144

+

y2

80

=1或

y2

144

+

x2

80

=1；
（2）由雙曲線C₁與雙曲線C₂：

y2

4

-

x2

9

=1有共同的漸近線，
則可設(shè)雙曲線C₁：

y2

4

-

x2

9

=λ（λ≠0），
將M（

9

2

，-1）代入雙曲線C₁方程，

1

4

-

81 4

9

=λ，則λ=-2，
故雙曲線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

18

-

y2

8

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓、雙曲線的方程和性質(zhì)，考查雙曲線方程和漸近線方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于易錯題和中檔題．