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13.如圖,在正三棱柱(側(cè)棱垂直于底面,且底面是正三角形)ABC-A1B1C1中,D是AC邊的中點.
(1)求證:AB1∥平面DBC1;
(2)當(dāng)CA1⊥AB1時,求證:CA1⊥平面DBC1

分析 (1)連接CB1,設(shè)與BC1交于點E,則E為CB1的中點,由三角形的中位線的性質(zhì)可求DE∥AB1,進(jìn)而可證AB1∥平面DBC1;
(2)由CA1⊥AB1,DE∥AB1,可證CA1⊥DE,利用正三棱柱的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)可求BD⊥平面AA1C1C,進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)可求BD⊥CA1,利用線面垂直的判定定理即可得證.

解答 證明:(1)如圖,連接CB1,設(shè)與BC1交于點E,則E為CB1的中點,連接DE,
又∵D是AC邊的中點.
∴DE∥AB1,
∵DE?平面DBC1;AB1?平面DBC1,
∴AB1∥平面DBC1;
(2)∵CA1⊥AB1,DE∥AB1,
∴CA1⊥DE,
又∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BD⊥平面AA1C1C,可得:BD⊥CA1,
又DE∩BD=D,
∴CA1⊥平面DBC1

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,正三棱柱的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì),線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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