Question

已知f(x)＝3x²－x＋m，(x∈R)，g(x)＝ln x.

(1)若函數f(x)與g(x)的圖像在x＝x₀處的切線平行，求x₀的值；

(2)求當曲線y＝f(x)與y＝g(x)有公共切線時，實數m的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，求函數F(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間上的最值(用m表示)．

Answer 1

解：(1)∵f′(x)＝6x－1，g′(x)＝(x>0)，

由題意知6x₀－1＝(x₀>0)，即6x－x₀－1＝0，解得x₀＝或x₀＝－，

又∵x₀>0，∴x₀＝.

(2)若曲線y＝f(x)與y＝g(x)相切且在交點處有公共切線，由(1)得切點橫坐標為，

∴f＝g，

∴－＋m＝ln ，即m＝－－ln 2，

數形結合可知，m>－－ln 2時，f(x)與g(x)有公共切線，故m的取值范圍是

 (3)F(x)＝f(x)－g(x)＝3x²－x＋m－ln x，

故F′(x)＝6x－1－

當x變化時，F′(x)與F(x)在區(qū)間

的變化情況如下表：