考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導數(shù)的概念及應用
分析:本題先通過導函數(shù)研究函數(shù)的極值,再利用方程得到相應的邊界點,然后解不等式得到x的取值范圍,從而得到最大的區(qū)間[a,b],求出b-a的最大值,得到本題結論.
解答:
解:∵函數(shù)f(x)=x3-3x2+1,
∴f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
∴當x<0時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調遞增;
當0<x<2時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,2)上單調遞減;
當x>2時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(2,+∞)上單調遞增.
∴當x=0時,f(x)有極大值,f(0)=1,
當x=2時,f(x)有極小值,f(2)=23-3×22+1=-3,
∵當f(x)=1時,x=0或x=3,
當f(x)=-3時,x=2或x=-1,
∴若-3≤f(x)≤1,則-1≤x≤3.
∴定義在[a,b]上的函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的值域為[-3,1],則b-a的最大值是1-(-3)=4.
故答案為:4.
點評:本題考查了導函數(shù)與函數(shù)的最值,還考查了數(shù)形結合思想,本題難度適中,計算量略大,屬于中檔題.