Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，若右焦點(diǎn)到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與直線y=x+m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)出橢圓的方程，利用右焦點(diǎn)到直線x-y+2

2

=0的距離為3，即可求解橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與直線y=x+m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，中點(diǎn)為P，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及判別式求出m的范圍，通過(guò)中點(diǎn)坐標(biāo)，以及|AM|=|AN|；求出m的值；判斷即可．

解答： 解：（Ⅰ）依題意可設(shè)橢圓方程為 

x2

a2

+y2=1，則右焦點(diǎn)F（

a2-1

，0）
由題設(shè)

| a2-1 +2 2 |

2

=3，
解得a²=3．
故所求橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由

y=x+m x2 3 +y2=1

得 4x²+6mx+3m²-3=0
由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＞0，
解得：-2＜m＜2．
由韋達(dá)定理可知：xp=

xM+xN

2

=-

3m

4

，從而yp=xp+m=

m

4

．
∴kAp=

yp+1

xp

=

m 4 +1

- 3m 4

，又|AM|=|AN|，
∴AP⊥MN，則

m 4 +1

- 3m 4

=-1，
即m=2，因?yàn)椋?2＜m＜2．
所以不存在實(shí)數(shù)m使|AM|=|AN|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，存在性問(wèn)題的解題策略，難度比較大，注意m的范圍是易錯(cuò)點(diǎn)．