已知雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn),右焦點(diǎn)分別為A(a,0),F(xiàn)(c,0),若在直線(xiàn)x=
a2
c
上存在點(diǎn)P使得∠APF=30°,則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是
 
考點(diǎn):雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專(zhuān)題:計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程
分析:設(shè)直線(xiàn)x=
a2
c
與x軸的交點(diǎn)為H,設(shè)P(
a2
c
,t)(t>0),則tan∠APF=tan30°=tan(∠HPF-∠HPA),運(yùn)用兩角差的正切公式化簡(jiǎn)整理,再由基本不等式得到a,c的不等式,再由離心率公式轉(zhuǎn)化為e的不等式,解得即可.
解答: 解:設(shè)直線(xiàn)x=
a2
c
與x軸的交點(diǎn)為H,
設(shè)P(
a2
c
,t)(t>0),
則tan∠APF=tan30°=tan(∠HPF-∠HPA)=
tan∠HPF-tan∠HPA
1+tan∠HPF•tan∠HPA

=
c-
a2
c
t
-
a-
a2
c
t
1+
(c-
a2
c
)(a-
a2
c
)
t2
=
c-a
t+
(c-
a2
c
)(a-
a2
c
)
t
c-a
2
(c-
a2
c
)(a-
a2
c
)
,
即有
4
3
c2(c-a)2
(c2-a2)(ac-a2)
=
e2(e-1)2
(e2-1)(e-1)

即有3e2-4e-4≥0,
解得,e≥2.
故答案為:[2,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì),考查離心率的求法,考查基本不等式的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某工廠(chǎng)需要生產(chǎn)x個(gè)零件(50≤x≤150,x∈N*),經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知,生產(chǎn)成本包括以下三個(gè)方面:①生產(chǎn)1個(gè)零件需要原料費(fèi)50元;②支付職工的工資由6000元的基本工資和每生產(chǎn)1個(gè)零件補(bǔ)貼20元組成;③所生產(chǎn)零件的保養(yǎng)總費(fèi)用是(x2-30x+400)元.
(1)把生產(chǎn)每個(gè)零件的平均成本P(x)表示為x的函數(shù)關(guān)系式,并求P(x)的最小值;
(2)假設(shè)生產(chǎn)的零件可以全部賣(mài)出,據(jù)測(cè)算,銷(xiāo)售收入Q(x)關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為Q(x)=1240x-
1
30
x3,那么當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)生產(chǎn)這批零件的利潤(rùn)最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若l,n是兩條互不相同的空間直線(xiàn),α,β是兩個(gè)不重合的平面,則下列命題中為真命題的是
 
(填所有正確答案的序號(hào)).
①若α∥β,l?α,n?β,則l∥n;        
②若l⊥α,n∥α,則l⊥n;
③若α⊥β,l⊥β,則l∥α;              
④若l⊥α,l∥β,則α⊥β.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知P為拋物線(xiàn)y=x2上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(a,0)關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是Q.求點(diǎn)Q的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+
1-x
ax
(a>0)
(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)y=f(x)在(0,1]上的最小值g(a)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在彈性限度內(nèi),拉伸彈簧所用的力與彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度成正比.如果20N的力能使彈簧伸長(zhǎng)4cm,則把彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)8cm(在彈性限度內(nèi))時(shí)所做的功為
 
(單位:焦耳).

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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