Question

已知雙曲線右頂點，右焦點分別為A（a，0），F(xiàn)（c，0），若在直線x=

a2

c

上存在點P使得∠APF=30°，則該雙曲線離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設直線x=

a2

c

與x軸的交點為H，設P（

a2

c

，t）（t＞0），則tan∠APF=tan30°=tan（∠HPF-∠HPA），運用兩角差的正切公式化簡整理，再由基本不等式得到a，c的不等式，再由離心率公式轉(zhuǎn)化為e的不等式，解得即可．

解答： 解：設直線x=

a2

c

與x軸的交點為H，
設P（

a2

c

，t）（t＞0），
則tan∠APF=tan30°=tan（∠HPF-∠HPA）=

tan∠HPF-tan∠HPA

1+tan∠HPF•tan∠HPA

=

c- a2 c t - a- a2 c t

1+ (c- a2 c )(a- a2 c ) t2

=

c-a

t+ (c- a2 c )(a- a2 c ) t

≤

c-a

2 (c- a2 c )(a- a2 c )

，
即有

4

3

≤

c2(c-a)2

(c2-a2)(ac-a2)

=

e2(e-1)2

(e2-1)(e-1)

，
即有3e²-4e-4≥0，
解得，e≥2．
故答案為：[2，+∞）

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．