4.如圖,已知平面ABC⊥平面BCDE,△DEF與△ABC分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形,AC∥DF,四邊形BCDE為直角梯形,DE∥BC,BC⊥CD,CD=1,點(diǎn)G為△ABC的重心,N為AB中點(diǎn),$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AF}(λ∈R,λ>0)$.
(1)當(dāng)$λ=\frac{2}{3}$時(shí),求證:GM∥平面DFN;
(2)若$λ=\frac{1}{2}$時(shí),試求二面角M-BC-D的余弦值.

分析 (1)當(dāng)λ=$\frac{2}{3}$時(shí),連AG延長(zhǎng)交BC于P,證明GM∥PF,P,D,F(xiàn),N四點(diǎn)共面,即可證明:GM∥平面DFN.
(2)當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí),以P為原點(diǎn),PC為x軸,PE為y軸,PA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的夾角公式求二面角M-BC-D的余弦值

解答 證明:(1)連AG延長(zhǎng)交BC于P,
因?yàn)辄c(diǎn)G為△ABC的重心,所以$\frac{AG}{AP}$=$\frac{2}{3}$,(1分)
又$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AF}$,λ=$\frac{2}{3}$,所以$\frac{AG}{AP}$=$\frac{AM}{AF}$=$\frac{2}{3}$,
所以GM∥PF,(2分)
因?yàn)锳C∥DF,DE∥BC,所以平面ABC∥平面DEF,
又△DEF與△ABC分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形,
N為AB中點(diǎn),P為BC中點(diǎn),所以NP∥AC,
又AC∥DF,(3分)
所以NP∥DF,得P,D,F(xiàn),N四點(diǎn)共面,
∴GM∥平面DFN.(5分)
解:(2)∵平面ABC⊥平面BCDE,∴平面DEF⊥平面BCDE,
以P為原點(diǎn),PC為x軸,PE為y軸,PA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則C(1,0,0),D(1,1,0),A(0,0,$\sqrt{3}$),F(xiàn)($\frac{1}{2}$,1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),B(-1,0,0),N(-$\frac{1}{2}$,0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),(7分)
設(shè)M(x,y,z),
∵$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AF}$,∴M($\frac{λ}{2}$,λ,$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}λ$),$\overrightarrow{NM}$=($\frac{λ+1}{2}$,λ,$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1-λ)),$\overrightarrow{CD}$=(0,1,0),
∵λ=$\frac{1}{2}$,∴M($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{4}$),(9分)
設(shè)平面MBC的法向量$\overrightarrow{n}$=(a,b,c),$\overrightarrow{BC}$=(2,0,0),$\overrightarrow{BM}$=($\frac{5}{4}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{4}$),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=\frac{5}{4}a+\frac{1}{2}b+\frac{3\sqrt{3}}{4}c=0}\end{array}\right.$,取c=-2,得$\overrightarrow{n}$=(0,3$\sqrt{3}$,-2),
面BCD的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
設(shè)二面角M-BC-D的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{31}}$=$\frac{2\sqrt{31}}{31}$,
∴二面角M-BC-D的余弦值為$\frac{2\sqrt{31}}{31}$.(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查二面角M-BC-D的余弦值,考查向量方法的運(yùn)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.若平面α∥β,直線a⊆α,直線b⊆β,那么直線a,b的位置關(guān)系是( 。
A.相交B.平行C.異面D.平行或異面

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.已知$sin2θ-4sin({θ+\frac{π}{3}})sin({θ-\frac{π}{6}})=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,則cos2θ等于(  )
A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$D.$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.函數(shù)f(x)=-(x-5)|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,$\frac{5}{2}$).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.已知下列兩種說法:
①方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不同的負(fù)根;
②方程4x2+4(m-2)x=1=0無實(shí)根.
(1)若①和②都成立,求實(shí)數(shù)m的范圍;
(2)若①和②中至少有一個(gè)成立,求實(shí)數(shù)m的范圍;
(3)若①和②中有且只有一個(gè)成立,求實(shí)數(shù)m的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.已知函數(shù)$f(x)={log_4}({{4^x}+1})+kx$是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)若函數(shù)$h(x)={4^{f(x)+\frac{1}{2}x}}+m×{2^x}-1,x∈[{0,{{log}_2}3}]$,是否存在實(shí)數(shù)m使得h(x)最小值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.在△ABC中,有
①$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$;
②$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$;
③若($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})•(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=0$•($\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$=0,則△ABC是等腰三角形;
④若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}>0$,則△ABC為銳角三角形.
上述命題正確的是( 。
A.①②B.①④C.②③D.②③④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.將一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面延展成平面后,可將空間分成24部分.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥BD交于點(diǎn)O,E為線段PC上的點(diǎn),且AC⊥BE.
(1)求證:AC⊥DE;
(2)若BC∥AD,PA=6,BC=$\frac{1}{2}AD=\sqrt{2}$,AB=CD,求異面直線DE與PA所成的角.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案