Question

已知函數(shù)y=f（x+1）是R上的偶函數(shù)，且x＞1時(shí)f′（x）＜0恒成立，又f（4）=0，則（x+3）f（x+4）＜0的解集是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：本題由條件當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0得到y(tǒng)=f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，再由函數(shù)y=f（x+1）是R上的偶函數(shù)，得到函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，得到函數(shù)y=f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，再由f（4）=0，得到圖象過定點(diǎn)，得到函數(shù)值的正負(fù)情況，將（x+3）f（x+4）＜0轉(zhuǎn)化為不等式組，解不等式組，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0恒成立，
∴函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)y=f（x+1）是R上的偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，
∵f（4）=0，
∴當(dāng)f（x）＞0時(shí)，-2＜x＜4；
當(dāng)f（x）＜0時(shí)，x＜-2或x＞4．
∴由（x+3）f（x+4）＜0得：

x+3＞0 f(x+4)＜0

或

x+3＜0 f(x+4)＞0

，
即

x＞-3 x+4＜-2或x+4＞4

或

x＜-3 -2＜x+4＜4

，
解得：-6＜x＜-3或x＞0，
∴（x+3）f（x+4）＜0的解集是：（-6，-3）∪（0，+∞）．
故答案為：（-6，-3）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、函數(shù)值的正負(fù)與圖象的關(guān)系，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．