設f(x)=x3+ax2+bx+c,又k是一個常數,已知當k<0或k>4時,f(x)-k=0只有一個實根,當0<k<4時,f(x)-k=0有三個相異實根,現給出下列命題:
(1)f(x)-4=0和f'(x)=0有且只有一個相同的實根.
(2)f(x)=0和f'(x)=0有且只有一個相同的實根.
(3)f(x)+3=0的任一實根大于f(x)-1=0的任一實根.
(4)f(x)+5=0的任一實根小于f(x)-2=0的任一實根.
其中錯誤命題的個數為( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】
分析:因為函數是一元三次函數,所以是雙峰函數,根據題目給出的函數在不同范圍內實根的情況,畫出函數f(x)的簡圖,然后借助于圖象,逐一分析四個命題即可得到正確答案.
解答:解:因為f(x)=x
3+ax
2+bx+c,且f(x)-k=0在k<0或k>4時只有一個實數根,在0<k<4時有三個實數根,
所以其圖象近似如下圖,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103101025718460865/SYS201311031010257184608009_DA/images0.png)
因為f
′(x)=0的根是函數f(x)的極值點的橫坐標,
由圖象可知,f(x)-4=0和f
′(x)=0有且只有一個相同的實根,所以命題(1)正確;
f(x)=0和f
′(x)=0有且只有一個相同的實根,所以命題(2)正確;
f(x)+3=0的實根小于f(x)-1=0的實根,所以命題(3)不正確;
f(x)+5=0的實根小于f(x)-2=0的實根,所以命題(4)正確.
故選D.
點評:本題考查了命題的真假及應用,考查了利用導函數研究函數的極值,考查了數形結合的數學思想,解答此題的關鍵是能夠根據方程f(x)-k=0的根的情況作出函數f(x)的圖象的大致形狀,此題是中擋題.