函數(shù)f(x)=4x3+ax2+bx+5的圖象在x=1處的切線方程為y=-12x,
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
分析:(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導數(shù),從而得到切線的斜率,建立等式關系,再根據(jù)切點在函數(shù)圖象建立等式關系,解方程組即可求出a和b,從而得到函數(shù)f(x)的解析式;
(2)由(Ⅰ)得f'(x),令f′(x)>0和令f′(x)<0,即可求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解答:解:(1)f′(x)=12x2+2ax+b,f′(1)=12+2a+b=-12.①
又x=1,y=-12在f(x)的圖象上,
∴4+a+b+5=-12.②
由①②得a=-3,b=-18,
∴f(x)=4x3-3x2-18x+5.
(2)f′(x)=12x2-6x-18=令f'(x)<0,得:12x2-6x-18<0,
可得-1<x<
3
2
,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-1,
3
2
)
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,以及導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系等基礎題知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.
(Ⅰ)當t=1時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(Ⅱ)當t≠0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)證明:對任意的t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值等于( 。
A、2B、3C、6D、9

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=4x3+bx2+ax+5在x=
32
,x=-1處有極值,那么a=
-18
-18
  b=
-3
-3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•浙江)已知a∈R,函數(shù)f(x)=4x3-2ax+a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當0≤x≤1時,f(x)+|2-a|>0.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=4x3+x-8,用二分法求方程4x3+x-8=0的近似過程中,計算得到f(1)<0,f(3)>0,則方程的根落在區(qū)間( 。
A、(1,1.5)B、(1.5,2)C、(2,2.5)D、(2.5,3)

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