Question

設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項(xiàng)；③．設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為．換句話說，是數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3．

（1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3，請(qǐng)寫出數(shù)列；

（2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和；

（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項(xiàng)和．

Answer 1

（1）1,4,7；（2）384；（3）

【解析】

試題分析：（1）本題解題的關(guān)鍵是抓住新定義中“是數(shù)列中，滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值”，正確理解題中新定義的內(nèi)容，根據(jù)伴隨數(shù)列的定義直接寫出數(shù)列1,4,7；（2）對(duì)于這類問題，我們要首先應(yīng)弄清楚問題的本質(zhì)，然后根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)以及解決數(shù)列問題時(shí)的常用方法即可解決，根據(jù)伴隨數(shù)列的定義得，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)分類討論求出伴隨數(shù)列的前100項(xiàng)的和；（3）數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景是數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn)，由題意和與的關(guān)系，代入得，求出伴隨數(shù)列的各項(xiàng)，再對(duì)分類討論得.

試題解析：（1）由伴隨數(shù)列1,1,1,2,2,2,3及定義得

，故數(shù)列為1,4,7． 6分

（2）由，得

∴ 當(dāng)時(shí)， 1分

當(dāng)時(shí)， 1分

當(dāng)時(shí)， 1分

當(dāng)時(shí)， 1分

當(dāng)時(shí)， 1分

∴ 1分

（3）∵ ∴ 1分

當(dāng)時(shí)，

∴ 2分

由得：

因?yàn)槭沟?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040506020953667625/SYS201504050602475068792561_DA/SYS201504050602475068792561_DA.037.png">成立的的最大值為，

所以 1分

當(dāng)時(shí)：

1分

當(dāng)時(shí)：

1分

當(dāng)時(shí)：

1分

所以 1分

考點(diǎn)：1、新定義求數(shù)列；2、數(shù)列求和；3、數(shù)列的應(yīng)用.