已知橢圓C:
x2
4
+y2=1的短軸的端點(diǎn)分別為A,B(如圖),直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),其中點(diǎn)M(m,
1
2
)滿(mǎn)足m≠0,且m≠±
3

(1)用m表示點(diǎn)E,F(xiàn)的坐標(biāo);
(2)證明直線EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無(wú)關(guān).
(3)若△BME面積是△AMF面積的5倍,求m的值.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(Ⅰ)直線AM的斜率為k1=-
1
2m
,直線BM斜率為k2=
3
2m
,直線AM的方程為y=-
1
2m
x+1
,直線BM的方程為y=
3
2m
x-1
,由
x2
4
+y2=1
y=-
1
2m
x+1
,得E(
4m
m2+1
,
m2-1
m2+1
),由
x2
4
+y2=1
y=
3
2m
x-1
,得F(
12m
m2+9
9-m2
m2+9
).
(Ⅱ)由已知條件求出直線EF的斜率k=-
m2+3
4m
,直線EF的方程為y-
m2-1
m2+1
=-
m2+3
4m
(x-
4m
m2+1
)
,由此能證明EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無(wú)關(guān).
(Ⅲ)S△BMF=
1
2
|MA||MF|sin∠AMF,S△BME=
1
2
|MB||ME|sin∠BME,由5S△AMF=S△BME,得
1
m2+1
=
15
m2+9
-1
,由此能求出結(jié)果.
解答: (Ⅰ)解:∵A(0,1),B(0,-1),M (m,
1
2
),且m≠0,
∴直線AM的斜率為k1=-
1
2m
,直線BM斜率為k2=
3
2m
,
∴直線AM的方程為y=-
1
2m
x+1
,直線BM的方程為y=
3
2m
x-1

x2
4
+y2=1
y=-
1
2m
x+1
,得(m2+1)x2-4mx=0,
∴x=0,x=
4m
m2+1
,∴E(
4m
m2+1
,
m2-1
m2+1
),
x2
4
+y2=1
y=
3
2m
x-1
,得(9+m2)x2-12mx=0,
∴x=0,x=
12m
m2+9
,∴F(
12m
m2+9
9-m2
m2+9
).
(Ⅱ)證明:據(jù)已知,m≠0,m2≠3,
∴直線EF的斜率k=
m2-1
1+m2
-
9-m2
9+m2
4m
1+m2
-
12m
9+m2
=
(m2+3)(m2-3)
-4m(m2-3)
=-
m2+3
4m

∴直線EF的方程為y-
m2-1
m2+1
=-
m2+3
4m
(x-
4m
m2+1
)
,
令x=0,得y=2,∴EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無(wú)關(guān).
(Ⅲ)解:∵S△BMF=
1
2
|MA||MF|sin∠AMF,
S△BME=
1
2
|MB||ME|sin∠BME,
∵∠AMF=∠BME,5S△AMF=S△BME,
∴5|MA||MF|=|MB||ME|,∴
5|MA|
|ME|
=
|MB|
|MF|
,
5m
4m
m2+1
-m
=
m
12m
9+m2
-m
,∵m≠0,
∴整理方程得
1
m2+1
=
15
m2+9
-1
,即(m2-3)(m2-1)=0,
又∵m≠±3,∴m2-3≠0,
∴m2=1,∴m=±1為所求.
點(diǎn)評(píng):本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法,考查直線與y軸交點(diǎn)與實(shí)數(shù)m無(wú)關(guān),考查實(shí)數(shù)值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.
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,
 
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2
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1
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3
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