已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且點(diǎn)An(an,an+1)在函數(shù)y=
x
x+1
的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求證:弦AnAn+1的斜率隨n的增大而增大;
(3)若數(shù)列{bn}滿足an•bn=2n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn的值.
考點(diǎn):數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和
專(zhuān)題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出
1
an+1
-
1
an
=1,又
1
a1
=1
,由此能求出an=
1
n

(2)弦AnAn+1的斜率k=
an+2-an+1
an+1-an
1
n+2
-
1
n+1
1
n+1
-
1
n
=
n(n+1)
(n+1)(n+2)
=
1
1+
2
n
,由此能證明弦AnAn+1的斜率隨n的增大而增大.
(3)由已知條件得bn=n•2n,由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn的值.
解答: (1)解:∵數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且點(diǎn)An(an,an+1)在函數(shù)y=
x
x+1
的圖象上,
an
an+1
=an+1
,anan+1=an-an+1,
1
an+1
-
1
an
=1,又
1
a1
=1
,
∴{
1
an
}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
1
an
=1+(n-1)=n.
∴an=
1
n

(2)證明:由(1)知弦AnAn+1的斜率k=
an+2-an+1
an+1-an
,
k=
1
n+2
-
1
n+1
1
n+1
-
1
n
=
n(n+1)
(n+1)(n+2)
=
n
n+2
=
1
1+
2
n

n越大,則1+
2
n
越小,
1
1+
1
n
越大,
∴弦AnAn+1的斜率隨n的增大而增大.
(3)解:∵數(shù)列{bn}滿足an•bn=2n,an=
1
n
,
∴bn=n•2n,
∴Sn=2+2•22+3•23+…+n•2n,①
2Sn=22+2•23+3•24+…+n•2n+1,②
①-②,得:-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
2(1-2n)
1-2
-n•2n+1
=2-(n+1)•2n+1,
∴Sn=(n+1)•2n+1-2.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查弦的斜率隨n的增大而增大的證明,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.
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已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n-1(n∈N*),把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排列成如圖所示的三角形數(shù)陣.記M(s,t)表示該數(shù)陣中第s行的第t個(gè)數(shù),則該數(shù)陣中的數(shù)2011對(duì)應(yīng)于( 。
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B、M(45,16)
C、M(46,15)
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如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,∠BAD
=90°,PA=AD=AB=
1
2
CD=1,M為PB的中點(diǎn).
(1)試在CD上確定一點(diǎn)N,使得MN∥平面PAD.
(2)點(diǎn)N在滿足(1)的條件下,求直線MN與平面PAB所成角的正弦值.

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在區(qū)間[-1,2]上先后隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x、y
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1
2
ax2+x,其中a∈R.
(Ⅰ)若a=-
1
2
,求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=-
1
3
x3+
1
2
(a+2)x2+2(a+4)x,存在兩個(gè)整數(shù)m、n,使得函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間(m,n)上都是增函數(shù),求n的最大值,及n取最大值時(shí)a的取值范圍.

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已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足:Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且2,an,Sn成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若an2=(
1
2
 bn,cn=
bn
an
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-ae-x)(x∈R)是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=
 

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(1)若x=1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求a的值.
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