Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式f（x）+a＜0在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（1）=0即可求解；
（2）f′（x）=

1

x

-a，分a≤0、a＞0兩種情況討論可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）f（x）+a＜0即lnx-ax+a＜0，令g（x）=lnx-ax+a，由（1）可判斷a≤0時(shí)g（x）＞g（1）=0；a＞0時(shí)，再分0＜

1

a

≤1，

1

a

＞1兩種情況進(jìn)行討論，由（1）可知函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得結(jié)論；

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

-a，
∵x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（1）=0，即1-a=0，解得a=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）=

1

x

-1＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）=

1

x

-1＜0，
∴x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，
∴a=1．
（2）f′（x）=

1

x

-a，
∵x＞0，∴當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=

1

x

-a＞0，f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，

1

a

）上f′（x）=

1

x

-a＞0，f（x）在（

1

a

，+∞）上f′（x）=

1

x

-a＜0，
故f（x）在（0，

1

a

）上是增函數(shù)，f（x）在（

1

a

，+∞）上是減函數(shù)．
（3）f（x）+a＜0即lnx-ax+a＜0，
令g（x）=lnx-ax+a，
由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，不符合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞增，在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減，
①若0＜

1

a

≤1，即a≥1，則g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
g（x）＜g（1）=0，符合題意；
②若

1

a

＞1，即0＜a＜1，g（x）在（1，

1

a

）上遞增，
此時(shí)有g(shù)（x）＞g（1）=0，不符合題意；
綜上所述，a的取值范圍是a≥1．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性、不等式恒成立問題，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力．