Question

16．如圖所示，已知長方體ABCD中，$AB=2AD=2\sqrt{2}，M$為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．
（1）求證：平面ADM⊥平面ABCM；
（2）是否存在滿足$\overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BD}（{0＜t＜1}）$的點E，使得二面角E-AM-D為大小為$\frac{π}{4}$．若存在，求出相應的實數t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出BM⊥AM，AD⊥BM，從而BM⊥平面ADM，由此能證明平面ADM⊥平面ABCM．
（2）以M為原點，MA為x軸，MB為y軸，過M作平面ABCM的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在滿足$\overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BD}（{0＜t＜1}）$的點E，使得二面角E-AM-D為大小為$\frac{π}{4}$，并能求出相應的實數t的值．

解答 證明：（1）∵長方形ABCD中，AB=2AD=2$\sqrt{2}$，M為DC的中點，
∴AM=BM=2，AM²+BM²=AB²，∴BM⊥AM，
∵AD⊥BM，AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，
又BM?平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM．
解：（2）以M為原點，MA為x軸，MB為y軸，過M作平面ABCM的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，0，1），M（0，0，0），
$\overrightarrow{MB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BD}$=（1，-2，1），$\overrightarrow{ME}$=$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BE}$=（t，2-2t，1），
設平面AME的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{m}=2x=0}\\{\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{m}=tx+（2-2t）y+tz=0}\end{array}\right.$，
取y=t，得$\overrightarrow{m}$=（0，t，2t-2），
由（1）知平面AMD的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵二面角E-AM-D為大小為$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{π}{4}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+4（t-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得t=$\frac{2}{3}$或t=2（舍），
∴存在滿足$\overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BD}（{0＜t＜1}）$的點E，使得二面角E-AM-D為大小為$\frac{π}{4}$，相應的實數t的值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足二面角的大小的實數值是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．