Question

8．在如圖所示的多面體中，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=2AD=4DE=4．
（1）在AC上求作點P，使PE∥平面ABF，請寫出作法并說明理由；
（2）求三棱錐A-CDE的高．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點G，連結DG，交AC于P，連結PE，此時P為所求作的點．先推導出四邊形BGDA為平行四邊形，從而DP∥平面ABF，再推導出DE∥平面ABF，進而平面ABF∥平面PDE，由此得以PE∥平面ABF．
（2）推導出DE是三棱錐E-ACD的高，設三棱錐的高為h，由V_A-CDE=V_E-ACD，能求出三棱錐A-CDE的高．

解答 解：（1）取BC的中點G，連結DG，交AC于P，連結PE，此時P為所求作的點，如圖所示．
下面給出證明：
∵BC=2AD，∴BG=AD，又BC∥AD，∴四邊形BGDA為平行四邊形，
∴DG∥AB，即DP∥AB，
又AB?平面ABF，DP?平面ABF，∴DP∥平面ABF，
∵AF∥DE，AF?平面ABF，DE?平面ABF，∴DE∥平面ABF，
又∵DP?平面PDE，DE?平面PDE，PD∩DE=D，
∴平面ABF∥平面PDE，
又∵PE?平面PDE，∴PE∥平面ABF．
（2）在等腰梯形ABCD中，∵∠ABG=60°，BC=2AD=4，
∴由題意得梯形的高為$\sqrt{3}$，∴${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∵DE⊥平面ABCD，∴DE是三棱錐E-ACD的高，
設三棱錐的高為h，
由V_A-CDE=V_E-ACD，得$\frac{1}{3}×{S}_{△CDE}×h=\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×DE$，
即$\frac{1}{2}×2×1×h=\sqrt{3}$，解得h=$\sqrt{3}$．
∴三棱錐A-CDE的高為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查滿足線面平行的點的作法，考查三棱錐的高的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．