Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+2

x+b

是奇函數(shù)，且f（2）=5，
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性；
（3）對任意的x∈（0，+∞），試求出使不等式f（x）≥t成立的實數(shù)t的最大值．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），即可得到b，再由f（2）=5，即可得到a；
（2）求出f（x），可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷，即可得到f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（3）任意的x∈（0，+∞），使不等式f（x）≥t成立，即為f（x）_min≥t在（0，+∞）成立，由（2）通過單調(diào)性即可得到f（x）的最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

ax2+2

x+b

是奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），即有

ax2+2

b-x

=

ax2+2

-b-x

，
即有b-x=-b-x，即b=0，
又f（2）=5，則

4a+2

2

=5，解得a=2，
即a=2，b=0；
（2）f（x）=

2x2+2

x

=2（x+

1

x

），
由于f′（x）=2（1-

1

x2

），又0＜x＜1，則

1

x2

＞1，
2（1-

1

x2

）＜0，即f′（x）＜0，
則f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（3）由f′（x）=2（1-

1

x2

），可得，f（x）在（0，1）上遞減，
在（1，+∞）上遞增，
則當(dāng)x＞0時，f（x）_min=f（1）=4，
任意的x∈（0，+∞），使不等式f（x）≥t成立，
即為f（x）_min≥t在（0，+∞）成立，
則有t≤4，
即有t的最大值為4．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用，以及單調(diào)性的判斷，考查單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．